稠密随机图在单一约束下系综等价性的破缺

两种系综常用于建模受约束的随机图：微正则系综（=硬约束）与正则系综（=软约束）。当两个系综的比特定相对熵不随图规模趋于无穷而消失时，称发生系综等价性破缺（BEE）。后者意味着，对于图的标度性质而言，约束是对图的每个单一实现都满足，还是仅作为系综平均成立，是有区别的。文献中发现，BEE 对于两类情形是规律而非例外：稀疏随机图（当约束数量与顶点数量同阶时）和稠密随机图（当存在两个或更多受挫约束时）。本文中我们为第三类建立 BEE：具有单一约束的稠密随机图，即关于给定有限简单图密度的约束。我们表明 BEE 仅在特定密度与简单图边数选择范围内发生，我们称之为 BEE 相。我们展示，在 BEE 相的某部分，两系综下随机图邻接矩阵最大特征值平均的标度极限之间存在间隙，该性质被称为 BEE 的谱特征。证明基于 Den Hollander 等人（2018）导出的图子空间上极限比特定相对熵变分公式的分析，结合最小化图子的识别与副本对称论证。我们展示在 BEE 相的副本对称区域，当图规模趋于无穷时，微正则系综表现为 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图，而正则系综表现为两个 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图的混合。