${\rm GL}_{2}$ 的 metaplectic 覆盖上的分支律

$p$-进群的表示论自然出现在自守形式的研究中，理解群表示的一种方法是将其限制到其良好的子群上。D. Prasad 研究了数对 $({\rm GL}_{2}(E), {\rm GL}_{2}(F))$ 和 $({\rm GL}_{2}(E), D_{F}^{\times})$ 的限制问题，其中 $E/F$ 是二次扩张，$D_{F}$ 是唯一的四元数除法代数，且 $D_{F}^{\times} \hookrightarrow {\rm GL}_{2}(E)$。Prasad 证明了涉及数对 $({\rm GL}_{2}(E), {\rm GL}_{2}(F))$ 和 $({\rm GL}_{2}(E), D_{F}^{\times})$ 限制的重数一结果以及与 Jacquet-Langlands 对应相关的“二分性”。我们研究了一个涉及覆盖群的限制问题。类比 Prasad 的情形，我们考虑数对 $(\widetilde{{\rm GL}_{2}(E)}, {\rm GL}_{2}(F))$ 和 $(\widetilde{{\rm GL}_{2}(E)}, D_{F}^{\times})$，其中 $\widetilde{{\rm GL}_{2}(E)}$ 是 ${\rm GL}_{2}(E)$ 的 $\mathbb{C}^{\times}$-metaplectic 覆盖。在此情形下我们没有重数一，但存在二分性的类比。