分裂退化超椭圆曲线的分支点 I：Schottky 群的构造

设 $K$ 为带离散赋值的域，$p$ 为素数。已知若 $\Gamma \lhd \Gamma_0 < \mathrm{PGL}_2(K)$ 为正规包含于更大群中的 Schottky 群，而该更大群由每个固定 $2$ 个点 $a_i, b_i \in \mathbb{P}_K^1$ 的 $p$ 阶元素生成，则射影直线 $\mathbb{P}_K^1$ 的某子集在 $\Gamma$ 作用下的商可代数化为超椭圆曲线 $C : y^p = f(x) / K$。由这些固定点对 $a_i, b_i$ 组成的子集 $S \subset K \cup \{\infty\}$ 在模 $\Gamma$ 下映射到超椭圆映射 $x : C \to \mathbb{P}_K^1$ 的分支点集合。我们给出一种算法，用于判定输入的偶基数子集 $S \subset K \cup \{\infty\}$ 是否由此类群 $\Gamma_0$ 的生成元固定点组成，并在肯定情形下将 $S$ 修改为一个具有特别良好性质的子集 $S^{\mathrm{min}} \subset K \cup \{\infty\}$。我们的结果不涉及对素数 $p$ 或 $K$ 的剩余特征的任何限制，并允许二者相同。