随机图谱隙中的布雷斯悖论与特征向量离域化

我们研究当在随机图中添加或移除一条边时，其归一化拉普拉斯矩阵的谱隙如何变化。已知存在一些图的例子，其中添加边反而可能减小谱隙（这或许有违直觉），该现象类似于交通网络中的布雷斯悖论。我们证明在强意义上，随机图中经常发生这种情况。更确切地说，我们证明对于边密度为常数 $p \in (0,1)$ 的 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 的典型实例，添加一条随机边将以严格远离零的正概率减小谱隙。为此，我们证明了 $G(n,p)$ 的拉普拉斯矩阵特征向量的一个新的离域化结果，这本身可能具有独立意义。