浸没于流体中平行于其表面运动的平板的速降线问题

我们确定了在给定功预算下，将浸没的薄平板平行于其表面平移给定距离所需的全局最小时间 $T$。假设流动的雷诺数很大，从而平板上的阻力来自薄黏性边界层中的表面摩擦。最小值通过最速下降法确定，其中采用伴随公式化计算梯度。由于该问题的流体力学控制方程是非线性的，可能存在多个局部极小值。利用目标函数与约束微分方程的二次特性，我们推导并应用“谱条件”以证明收敛的局部最优为全局最优。该条件指出：若使用收敛伴随场在状态变量上构造的拉格朗日函数的 Hessian 在每一时刻均为半正定，则该最优为全局最优。平板的全局最优运动学以静止开始，速度 $\propto t^{1/4}$，并以速度 $\propto (T-t)^{1/4}$ 作为时间 $t$ 的函数静止结束。对于远大于平板长度的位移，功最小化运动学由最优启动、匀速巡航与最优停止组成。该谱条件也可用于受其他二次偏微分方程约束的优化问题。