基于矩-平方和层级的框架与壳体最小柔顺性拓扑优化全局最优性

具有连续截面参数的最小柔顺性抗弯结构设计因其固有的非凸性而是一项具有挑战性的任务。我们的贡献开发了一种策略，有助于计算在多种载荷工况和自重下框架与壳体结构的所有保证全局最优解。为此，我们利用刚度矩阵通常是设计变量的多项式函数这一事实，从而能够构建一个在半代数可行集上的等效非线性半定规划公式。该公式随后使用 Lasserre 矩-平方和（moment-sum-of-squares）层级求解，生成从下方单调收敛到原问题最优解的一系列外部凸近似。随后可利用 Curto-Fialkow 平坦扩张定理提取全局最优解。此外，我们表明对松弛问题解的简单修正可建立可行上界，从而导出全局 $\varepsilon$-最优性的一个简单充分条件。当原问题具有唯一极小值时，我们证明该解在极限下以零最优性间隙被找到。这些理论发现通过框架与壳体拓扑优化的若干实例加以说明，我们观察到该层级在有限（相当小）步数内收敛。