递推序列中平方数的个数界限：任意 $b$，第三篇

我们推广了关于二项递推序列中平方数的个数的早期工作，序列记为 $\left\{ y_{k} \right\}_{k \geq -\infty}$。在此论文中，我们考虑 $N_{\alpha}$ 为任意负整数且 $y_{0}=b^{2}$ 其中 $b$ 为任意正整数的情况。我们证明在 $y_{k}$ 足够大时，序列中至少有 $4$ 个不同的平方数。这使我们能够进一步证明当 $b=1,2$ 或 $3$ 时，或当 $d$ 足够大时，序列中至多有 $9$ 个不同的平方数。