单词中互异且不等价的非标准平方的最大数量

单词中平方的组合学取决于平方两半的等价性如何定义。我们考虑阿贝尔平方(Abelian squares)、参数化平方(parameterized squares)和保序平方(order-preserving squares)。单词$uv$是阿贝尔（参数化、保序）平方，如果$u$和$v$在阿贝尔（参数化、保序）意义下等价。已知普通平方在单词中的最大数量渐近线性，但确切界限仍在研究中。我们给出关于非标准子词等价关系的不同平方最大数量的若干结果。令$\mathit{SQ}_{\mathrm{Abel}}(n,\sigma)$和$\mathit{SQ}'_{\mathrm{Abel}}(n,\sigma)$分别表示长度为$n$、字母表大小为$\sigma$的单词中作为单词不同的阿贝尔平方的最大数量，以及阿贝尔意义下不等价的阿贝尔平方的最大数量。对于$\sigma\ge 2$，我们证明$\mathit{SQ}_{\mathrm{Abel}}(n,\sigma)=\Theta(n^2)$，$\mathit{SQ}'_{\mathrm{Abel}}(n,\sigma)=\Omega(n^{3/2})$且$\mathit{SQ}'_{\mathrm{Abel}}(n,\sigma) = O(n^{11/6})$。我们还给出了常量大小字母表上参数化和保序平方的线性界限：$\mathit{SQ}_{\mathrm{param}}(n,O(1))=\Theta(n)$，$\mathit{SQ}_{\mathrm{op}}(n,O(1))=\Theta(n)$。保序平方的上界对字母表大小有二次依赖，参数化平方有指数依赖。作为侧面结果，我们构造了最小字母表上避免非平凡保序平方和非平凡参数化立方的无限词（非平凡参数化平方无法在无限词中避免）。