差集的局部性质问题的界

我们考虑差集的局部性质问题：定义 $g(n, k, \ell)$ 为所有满足“局部性质”的 $n$ 元集合 $A \subseteq \mathbb{R}$ 上 $\lvert A - A\rvert$ 的最小值，其中局部性质指对所有 $k$ 元子集 $A' \subseteq A$ 均有 $\lvert A' - A'\rvert \geq \ell$。我们将 $k$ 和 $\ell$ 视为固定，并研究当 $n \to \infty$ 时 $g(n, k, \ell)$ 的渐近行为。我们的一个主要结果涉及二次阈值，即使得 $g(n, k, \ell) = \Omega(n^2)$ 的最小 $\ell$ 值；我们对偶数 $k$ 精确确定了该值，对奇数 $k$ 确定到可加常数以内。我们还证明对所有 $1 < c \leq 2$，$g(n, k, \ell) = \Omega(n^c)$ 的“阈值”关于 $k$ 是二次的；反之，对于关于 $k$ 为二次的 $\ell$，我们得到了形如 $n^c$（常数 $c > 1$ 不一定相等）的上界与下界。特别地，这为 $\ell$ 关于 $k$ 为二次的情形提供了首个非平凡上界。