界定双线性函数的McCormick松弛与凸包之间的间隙

我们研究双线性函数$b:[0,1]^n\to\mathbb{R}$的图可以由其McCormick松弛近似的程度。特别地，我们感兴趣于最小的数$c$，使得从McCormick松弛方法获得的凹上界和凸下界函数之差至多$c$倍于凹包络和凸包络之差。回答Luedtke、Namazifar和Linderoth的一个问题，我们表明这个因子$c$不能由独立于$n$的常数界定。更精确地，我们表明对于随机双线性函数$b$，渐近几乎必然有$c\geqslant\sqrt n/4$。另一方面，我们证明$c\leqslant 600\sqrt{n}$，这改进了Luedtke、Namazifar和Linderoth证明的线性上界。此外，我们为Misener、Smadbeck和Floudas刻画McCormick松弛等于凸包的函数$b$的结果给出了一个替代证明。