分数阶拉普拉斯算子生成的热半群之微分变换的有界性

本文分析如下类型级数的收敛性 \begin{equation*} T_N f(x)=\sum_{j=N_1}^{N_2} v_j\Big(e^{-a_{j+1}(-\Delta)^\alpha} f(x)-e^{-a_{j}(-\Delta)^\alpha} f(x)\Big),\quad x\in \mathbb R^n, \end{equation*} 其中 $\{e^{-t(-\Delta)^\alpha} \}_{t>0}$ 是分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^\alpha$ 的热半群，$N=(N_1, N_2)\in \mathbb Z^2$ 且 $N_1<N_2$，$\{v_j\}_{j\in \mathbb Z}$ 是有界实数列，$\{a_j\}_{j\in \mathbb Z}$ 是递增实数列。我们的分析将集中于算子 $T_N$ 及其极大算子 $\displaystyle T^*f(x)= \sup_N |T_N f(x)|$ 在 $L^p(\mathbb{R}^n)$ 与 $BMO(\mathbb{R}^n)$ 中的有界性。文中还表明，对于具有局部支撑的函数 $f$，极大微分变换算子的局部大小与奇异积分的阶相同。