流形对的微分同胚群的有界性 — 圆的情况 —

本文研究了流形对上微分同胚群上守恒范数（conjugation invariant norms）的有界性问题。对于闭流形对 $(M, N)$ 的微分同胚群 ${\mathcal D} \equiv {\rm Diff}(M,N)_0$（其中 ${\dim N} \geq 1$），首先我们阐明了碎片化范数、共轭生成范数、换位长度 $cl$ 以及以球内换位长度 $clb$ 之间的关系，并表明 ${\mathcal D}$ 相对于其中的某些正规子群的联合而言是弱简单（weakly simple）。对于这些范数的有界性，本文聚焦于 $N$ 为若干个圆的并集情况。在此情况下，$N$ 上的旋转角度诱导出一个准同构映射 $\nu : {\rm Isot}(M, N)_0 \to {\Bbb R}^m$，从而决定了子群 $A \subset {\Bbb Z}^m$ 以及函数 $\widehat{\nu} : {\mathcal D} \to {\Bbb R}^m/A$。若 ${\rm rank}\,A = m$，则上述数据可给出 ${\mathcal D}$ 在正规子群 ${\mathcal G} \cong {\rm Diff}_c(M - N)_0$ 上的 $clb$ 的上界。随后从这些上界推导出 $cl$ 和 $clb$ 在 ${\mathcal D}$ 上的上界。结果表明，当 ${\dim M} \neq 2,4$ 时，群 ${\mathcal D}$ 是均匀弱简单且有界的；而当 ${\rm rank}\,A < m$ 时，群 ${\mathcal D}$ 存在满射准同构映射，因而是无界且非均匀完美（not uniformly perfect）的。我们在一些具体例子中考察了群 $A$。