Hardy 空间的有界紧与对偶紧逼近性质：新结果与开放问题

本文旨在强调有关 Hardy 空间逼近性质的一些开放问题。我们也给出此类空间的有界紧逼近性质与对偶紧逼近性质（简称 BCAP 与 DCAP）的若干结果，以为开放问题提供背景。具体而言，我们考虑建立在平移不变 Banach 函数空间 $X$ 之上的抽象 Hardy 空间 $H[X(w)]$，其权 $w$ 满足 $w\in X$ 且 $w^{-1}\in X'$，其中 $X'$ 为 $X$ 的相伴空间。我们证明若 $X$ 可分，则 $H[X(w)]$ 具有逼近常数 $M(H[X(w)])\le 2$ 的 BCAP。此外，若 $X$ 自反，则 $H[X(w)]$ 具有 BCAP 与 DCAP，其逼近常数分别为 $M(H[X(w)])\le 2$ 与 $M^*(H[X(w)])\le 2$。在经典加权 Hardy 空间 $H^p(w) = H[L^p(w)]$（其中 $1<p<\infty$）的情形，有更锐利的结果：$M(H^p(w))\le 2^{|1-2/p|}$ 且 $M^*(H^p(w))\le 2^{|1-2/p|}$。