加权残差能量树的边界分解

我们研究由正算子 $R_{0}\in B\left(H\right)_{+}$ 和 $B\left(H\right)$ 中有限族压缩算子 $C_{1},\dots,C_{m}$ 生成的迭代加权残差(WR)分裂。相关的残差更新 $R\mapsto R^{1/2}(I-C^{*}_{j}C_{j})R^{1/2}$ 产生一个 $m$ 元能量树，由有限词索引的残差 $\left\{ R_{w}\right\}$ 和耗散片段 $\left\{ D_{w,j}\right\}$ 组成。从这棵树出发，我们通过由固定二次型 $x\mapsto\left\langle x,D_{w,j}x\right\rangle$ (定义测度 $\nu_{x}$) 或迹类情形下由 ${\rm tr}\left(D_{w,j}\right)$ (产生参考测度 $\nu_{\mathrm{tr}}$) 偏置转移，在路径空间上构造内在路径测度。当 $R_{0}\in S_{1}\left(H\right)_{+}$ 时，我们证明 $\nu_{\mathrm{tr}}$ 支配族 $\left\{ \nu_{x}\right\}$，并将 $d\nu_{x}/d\nu_{\mathrm{tr}}$ 识别为柱面似然比的典型鞅极限。沿着 $\nu_{\mathrm{tr}}$-几乎每条分支，残差递减到一个终端迹类随机变量 $R_{\infty}$，我们将其解释为 WR 边界变量。然后我们在 $\sigma\left(R_{\infty}\right)$ 上分解 $\nu_{\mathrm{tr}}$，得到边界律 $\mu_{\mathrm{tr}}=\left(R_{\infty}\right)_{\#}\nu_{\mathrm{tr}}$ 和条件路径测度 $\left\{ \nu^{T}_{\mathrm{tr}}\right\}$。最后，我们证明每个 $\nu_{x}$ 允许一个边界表示，作为 $\left\{ \nu^{T}_{\mathrm{tr}}\right\}$ 的混合，具有显式边界密度 $h_{x}=d\mu_{x}/d\mu_{\mathrm{tr}}$，从而通过单个迹偏置边界分解组织内在 WR 路径测度族。