边界条件与 Navier-Stokes 方程的聚合物减阻

降低湍流管道与槽道流动中的壁面阻力是一个具有重大实际意义的问题。在工程应用中，端功能化聚合物链常被用作减阻剂。这类聚合物悬浮于溶剂中，并以其链的一端（通过吸附或不可逆化学结合）附着于基底（壁面）。我们提出一个 PDE 模型，在如下简单设定中研究该情形：溶剂为占据光滑区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^d$ 主体的粘性不可压缩 Navier-Stokes 流体，而接枝于壁面的聚合物处于所谓的蘑菇态（聚合物间间距约为典型聚合物长度量级）。聚合物的微观描述通过壁面切向应力上的动态边界条件进入流体运动的宏观描述，这类似于（但不同于）依赖于历史信息的滑移长度。我们建立了二维空间中强解的全局适定性，并证明了到强 Euler 解的无粘极限以一定速率成立。此外，壁面摩擦因子 $\langle f\rangle$ 与全局能量耗散 $\langle \varepsilon\rangle$ 以与雷诺数 $Re$ 成反比的方式趋于零。该标度对应于层流摩擦因子 $\langle f\rangle \sim1/ Re$ 的 Poiseuille 定律，从而量化了我们所设情形下的减阻。这些结果与无聚合物添加物的物理边界（如由无滑移条件建模）的已有结果形成鲜明对比，后者即使在二维中也通常未知此类结论。