边界、谱三元组与 K-同调

本文将谱三元组的概念扩展为相对谱三元组，即理想 $J\triangleleft A$ 的相对 Fredholm 模的无界类比。示例包括带边流形、具有锥奇点的流形、维数下降代数、$\theta$-形变以及向量丛的 Cuntz-Pimsner 代数。相对谱三元组的有界变换是相对 Fredholm 模，使得相对谱三元组在 K-同调中边界映射下的像易于计算。我们引入了一个称为 Clifford 法线的附加算子，通过它可以将相对谱三元组倍化为谱三元组。Clifford 法线还提供了一个边界 Hilbert 空间、商代数的表示、边界 Dirac 算子以及 Calderon 投影的类比。在示例中，这些数据确实组合构成了边界谱三元组，尽管我们无法在一般情况下证明这一点。当我们确实获得边界谱三元组时，我们提供了该边界三元组代表 K-同调边界的充分条件。由此，我们将 Baum-Douglas-Taylor 的“Dirac 的边界即为边界上的 Dirac”定理的证明抽象到非交换几何的领域中。