完美树的无限子树的 Borel 划分
逻辑
2016-09-06 v1
摘要
Galvin 的一个定理断言,如果将实数的无序对划分为有限多个 Borel 类,则存在一个完美集 P,使得来自 P 的所有对都属于同一类。对 n >= 3 的 n-元组推广是不成立的。让我们将实数等同于按字典序排序的 2^omega,并对不同的 x,y 属于 2^omega 定义 D(x,y) 为使得 x(n) ≠ y(n) 的最小 n。将递增 n-元组 {x_0, ... x_{n-1}}_< 的类型定义为 {0, ...,n-2} 上由 i<^*j 当且仅当 D(x_i,x_{i+1})< D(x_j,x_{j+1}) 给出的序 <^*。Galvin 证明了对于任意实数的三元组的 Borel 染色,存在一个完美集 P,使得来自 P 的任意三元组的颜色仅依赖于其类型。Blass 证明了对任意 n 类似的结果成立。作为一个推论可知,如果将实数的无序 n-元组用有限多种 Borel 类染色,则存在一个完美集 P,使得来自 P 的 n-元组至多触及 (n-1)! 个类。我们考虑将此结果推广到实数无限递增序列的划分。我们证明,对于任意实数所有递增序列的 Borel 甚至解析划分,存在一个完美集 P,使得来自 P 的所有强递增序列都属于同一类。
引用
@article{arxiv.math/9301209,
title = {Borel partitions of infinite subtrees of a perfect tree},
author = {Alain Louveau and Boban Veličković and Saharon Shelah},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/9301209},
year = {2016}
}