三元二次型幂的边界秩

我们确定了任意三个变量中二次型各幂的边界秩。由于秩为$1$和秩为$2$的二次型的问题可归约为确定二元型各幂的秩，我们主要关注非退化二次型。我们首先考虑任意变量数$n$下的二次型$q_{n}=x_1^{2}+\dots+x_n^{2}$。我们确定了任意幂$q_n^s$的极理想，证明它对应于由次数为$s+1$的调和多项式生成的齐次理想。利用这一结果，我们为三个变量中二次型每个幂选取一个包含于其极理想中的特定理想，不失一般性地，我们假设该二次型为$q_3$。在验证某些性质后，我们利用最近的边界无极性（border apolarity）技术确立任意幂$q_3^s$的边界秩等于其中间catalecticant矩阵的秩，即$(s+1)(s+2)/2$。