边界失配性与幂和簇

我们研究由 Buczyńska 和 Buczyński 近期引入的边界幂和簇（简称 $\underline{\mathrm{VSP}}$），其参数化了一个点（例如张量或齐次多项式）相对于光滑射影环面簇的边界秩分解，并存在于 Haiman-Sturmfels 多重分次 Hilbert 概型中。它们的重要性源于边界张量秩在理论计算机科学中的作用，特别是在矩阵乘法指数的估计中，后者是计算理论中基本且仍未知的量。我们将 $\underline{\mathrm{VSP}}$ 与 Hilbert 概型中其他著名轨迹进行比较，后者参数化分解的概型论版本。后一类至关重要，因为它们自然解释了现有对秩给出良好下界的严重障碍。我们引入边界可辨识性的概念并提供其出现的充分条件，这依赖于 Maclagan 和 Smith 的多重分次正则性。我们将边界可辨识性与点的野性相联系。最后，我们在张量和齐次多项式的若干情形与机制下确定了 $\underline{\mathrm{VSP}}$。这些包括极小的边界秩的简洁 $3$-张量，特别是边界秩为三的。