广义幂和簇

设 $X\subset\mathbb{P}^{N}$ 为不可约非退化簇。$X$ 的广义幂和簇 $VSP_H^X(h)$ 定义为 Hilbert 概型 $Hilb_{h}(X)$ 中参数化点集 $\{x_{1},...,x_{h}\}$ 的轨迹的闭包，其中 $(h-1)$-平面 $\left\langle x_{1},...,x_{h}\right\rangle$ 经过一个固定的通用点 $p\in\mathbb{P}^{N}$。当 $X = V_{d}^{n}$ 为 Veronese 簇时，我们恢复了经典的幂和簇 $VSP(F,h)$，其参数化齐次多项式作为线性形式幂的加法分解。本文研究了 $VSP_H^X(h)$ 的双有理性质。特别地，我们将展示 $VSP_H^X(h)$ 的某些双有理性质（如有理性、单有理性和有理连通性）如何继承自簇 $X$ 本身的双有理几何。