四维空间相对微分几何中的 Bonnet 型定理

本文在 $\mathbb{R}^4$ 的相对微分几何框架下研究超曲面。考虑 $\mathbb{R}^4$ 中的超曲面 $\varPhi$，其位置向量场为 $\vect{x}$，并由相对法化 $\vect{y}$ 进行相对法化。则 $\vect{y}$ 也是单参数族 $\mathcal{F}$ 中每个超曲面 $\varPhi_\mu$ 的相对法化，其中 $\varPhi_\mu$ 的位置向量场为 $\vect{x}_\mu = \vect{x} + \mu \, \vect{y}$，$\mu$ 为实常数。本文称每个超曲面 $\varPhi_\mu \in \mathcal{F}$ 与 $\varPhi$ 相对平行。该考虑既包含仿射微分几何中的欧氏超曲面，也包含 Blaschke 超曲面。本文利用 $\varPhi$ 的相对平均曲率函数与“相对距离”$\mu$，表达了与 $\varPhi$ 相对平行的超曲面 $\varPhi_\mu$ 的相对平均曲率函数。随后证明了若干 Bonnet 型定理。更确切地说，本文证明若 $\varPhi$ 的两个相对平均曲率函数为常数，则至少存在一个具有常数相对平均曲率函数的相对平行超曲面。