波尔查诺猜想：测量无限集合的numerosity

波尔查诺和康托尔是最早尝试测量不同无限集合大小（numerosity）的数学家。他们的方法论方法不同，康托尔的方法占了上风。这导致了集合论以及康托尔超限算术的建立。本文论证波尔查诺猜想是正确的，并且欧几里得原理“整体大于部分”应被视为量化无限集合的必要条件（而非双射）。康托尔曾得出结论，有理数和代数数与自然数大小相同，而实数则是更大的集合。使用康托尔的方法，本文表明有理数比自然数大，从而证明双射不是衡量无限集合大小的可靠方法。还通过数学归纳法得出结论，不同的“可数”无限集合可以有各种不同的大小。然后简要讨论了使用双射作为大小度量的定理的含义。已经存在基于欧几里得原理的测量numerosity的新方法，可能发展出一致的无限算术系统。