波尔查诺与部分-整体原理

数学中对实无穷的接纳自然引出了比较无限集合大小的问题。基本困境在于，康托原理（CP）——据此两个集合若其元素间存在一一对应则具有相同大小——与部分-整体原理（PW）——据此整体大于其部分——对于无限集合是不一致的。当代公理化集合论系统，例如ZFC，基于CP。PW对无限集合不成立。在过去二十年中，无限集合大小的主题在若干论文中再次浮现。是否可能比较大小以符合PW的问题已被提出并研究。伯纳德·波尔查诺在其1848年的《无穷的悖论》中处理了将无穷引入数学的原理。他创建了一种尊重PW且基于无穷级数之和的无限量理论。我们扩展了波尔查诺的理论，并创建了一种确定可数集合集合大小的结构性方法，使得有限集合的基数得以保持且PW成立。我们的概念接近于本世纪初的计数性理论（numerosity theory），但更简单且更直观。在结果中，我们部分同意计数性理论。可数集合的大小被唯一确定，但它们并非线性有序。