伯纳德·波尔查诺：从拓扑连续统到算术连续统及其回归
历史与综述
2025-08-12 v1
摘要
尽管波尔查诺的连续统概念逐渐演变，但其基础保持不变：连续统是一个无限的点类，其排列方式使得所谓的“波尔查诺完备性”成立。波尔查诺逐渐认识到，对连续统的一般理解的核心作用在于其算术描述，并构建了他的可测数。它们在实数标准模型和非标准模型中的解释阐明了它们之间的关系，也暗示了为什么波尔查诺没有将其函数理论建立在无穷小数之上。关于可测数的三个主要定理是其完备性的各种形式。我论证了为什么第二个定理确实是“上确界定理”，以及第三个定理的一个重要推论是“波尔查诺完备性”的证明。只有当连续统的概念得到可测数的支持时，波尔查诺才能在他的最后一本书《无穷的悖论》中自信地捍卫连续统的一般性质，并拒绝与之相关的悖论。
引用
@article{arxiv.2508.06897,
title = {Bernard Bolzano: from Topological to Arithmetical Continuum and Back Again},
author = {Kateřina Trlifajová},
journal= {arXiv preprint arXiv:2508.06897},
year = {2025}
}