一种用于集合大小的欧几里得比较理论

我们讨论比较与评估集合大小的两种主要方式：“康托尔式”方式，基于所谓的休谟原则（两集合大小相等当且仅当它们等势）；以及“欧几里得式”方式，秉持欧几里得原则“整体大于部分”。前者自集合论诞生起即被深入研究，我们在此集中于“欧几里得式”大小概念（数性），它保持康托尔对序、加法与乘法的定义，同时保留集合（严格）大于其真子集的自然观念。这些数性满足欧几里得五条公共概念，并构成非标准自然数的半环，从而具有最佳的算术性质。最相关的是集合预序的自然集合论定义：$$X\prec Y\ \ \Iff\ \ \exists Z\ X\simeq Z\subset Y$$ 将该“真子集性质”从可数集推广到不可数集自本世纪初以来一直是该领域的主要开放问题。