欧几里得整数、欧几里得超滤与欧几里得数性

我们公理化地引入欧几里得整数环 $\bf{Z}_\kappa$，它可视为 [4] 中欧几里得数域 $\mathbb{E}$ 的“整数部分”，其中整数构成的、以序数为指标的 $\kappa$-序列的超限和被良好定义。特别地，任意序数可借其示性函数的超限和来识别，并保持所谓自然运算。有序环 $\bf{Z}_\kappa$ 可作为 $\mathbb{Z}$ 对适当超滤子的超幂得到，从而构成一个\it{非标准整数环}。最相关的是序的\it{代数}刻画：一个欧几里得整数是\it{正的}当且仅当它是\it{自然数的超限和}。此性质需要使用称为欧几里得的特殊超滤子，此处为这一目标引入。环 $\bf{Z}_\kappa$ 允许将“欧几里得”大小（\it{数性}）赋予“序数点集”，即序数元组集合，作为它们示性函数的超限和：于是每个集合都与一个序数集等数，Cantorian 的\it{序、加与乘}定义被保持，而欧几里得原则“整体大于部分”（\it{一个集合严格大于其真子集}）得以满足。