第一带隙附近气泡晶体中的 Bloch 波：一种高频均匀化方法

本文关注气泡型声子晶体的高频均匀化。它是文献 [H. Ammari et al., Sub-wavelength phononic bandgap opening in bubbly media, J. Diff. Eq., 263 (2017), 5610--5629] 的后续工作，该文献证明了亚波长带隙的存在。这一现象可以由胞元共振的周期干涉来解释，这种干涉是由于气泡与周围介质在密度和体模量上的高对比度所致。在本文中，我们证明了第一 Bloch 特征值在 Brillouin 区的角点处取得最大值。此外，通过计算该临界频率附近周期结构中 Bloch 特征函数的渐近行为，我们证明这些特征函数可以分解为两部分：一部分缓慢变化并满足均匀化方程，另一部分在每个基本晶体胞元上周期变化且快速变化。它们在非稀释情形下严格证明了在第一 Bloch 特征值最大值附近及下方观测到的气泡晶体中声波的超聚焦现象，并确认了在该临界频率附近及上方的带隙开启。