双变体厄米 $K$-理论与 Karoubi 基本定理

设 $\ell$ 为带对合 $*$ 且含元素 $\lambda$ 满足 $\lambda+\lambda^*=1$ 的交换环，并设 $\operatorname{Alg}^*_\ell$ 为配备半线性对合及对合保持同态的 $\ell$-代数范畴。我们构造了一个三角范畴 $kk^h$ 以及一个函子 $j^h:\operatorname{Alg}^*_\ell\to kk^h$，该函子同伦不变、矩阵与厄米稳定且具切除性，并且在这些性质上是泛初始的。我们证明 $kk^h$ 中成立了一个 Karoubi 基本定理的版本。由后者的泛性质可知，任何取值于三角范畴、同伦不变、矩阵与厄米稳定且具切除性的函子 $H:\operatorname{Alg}^*_\ell\to\mathfrak{T}$ 均满足该基本定理。我们还证明了 Karoubi 的 $12$-项正合列的一个双变体版本。