符号几乎一一扩张的Birkhoff谱

给定某紧致可度量化空间 $X$ 上的连续自映射 $f$，一个自然的问题是询问点 $x\in X$ 在 $f$ 迭代下对充分“良好”的集合 $C\subseteq X$ 的访问频率。例如，若 $f$ 是圆上的无理旋转，众所周知，只要 $C$ 是可测的且其边界 $\partial C$ 的Lebesgue测度为零，则Birkhoff平均 $\lim_{n\to\infty}1/n\cdot \sum_{i=0}^{n-1}\mathbf 1_C(f^i(x))$ 存在且对所有 $x$ 等于 $\textrm{Leb}_{\mathbb T^1}(C)$。然而，若 $\partial C$ 是胖的（具有正测度），相应的平均通常只能在几乎处处或剩余集上求值。事实上，目前似乎没有一个胖Cantor集 $C$ 的Birkhoff谱——即访问频率的全集——是已知的。在本文中，我们发展了一种方法来分析Cantor极小系统的一类自然地由动力学定义的胖无处稠密紧致子集的Birkhoff谱。我们证明，每个Cantor极小系统都容许这样的集合，其Birkhoff谱是一个完整的非退化区间——同时也容许这样的集合，其谱不是区间。作为应用，我们得到每个无理旋转都容许胖Cantor集 $C$ 和 $C'$，其Birkhoff谱分别是区间和非区间。