不可扩张Lipschitz延拓的喷射空间卡诺群中球面的双Lipschitz嵌入

对所有 $k,n\ge 1$,我们构造了 $\mathbb{S}^n$ 到喷射空间卡诺群 $J^k(\mathbb{R}^n)$ 中的一个双Lipschitz嵌入,该嵌入不允许扩张到 $\mathbb{B}^{n+1}$ 的Lipschitz延拓。设 $f:\mathbb{B}^n\to \mathbb{R}$ 为一个光滑正函数,其 $k$ 阶导数在 $\partial \mathbb{B}^n$ 附近近似线性。该嵌入由在上半球面取 $f$ 的喷射、在下半球面取 $-f$ 的喷射给出,其中我们将 $\mathbb{S}^n$ 视为两份 $\mathbb{B}^n$ 的拷贝。为证明不存在Lipschitz延拓,我们对 $n=1$ 应用 Wenger 与 Young 的一个分解结果,并对 $n\ge 2$ 修改 Rigot 与 Wenger 的一个论证。