视作Hopf幺半群的BiHom Hopf代数

我们引入这样的幺半群范畴：其任意正数个因子的幺半积为lax coherent（松弛相干），而其零元积为oplax coherent（逆松弛相干）。我们称之为 $\mathsf{Lax}^+\mathsf{Oplax}^0$-幺半群。对偶地，我们考虑 $\mathsf{Lax}_0\mathsf{Oplax}_+$-幺半群范畴，其对正数个因子为oplax coherent、对零元幺半积为lax coherent。我们定义具相容 $\mathsf{Lax}^+\mathsf{Oplax}^0$-与 $\mathsf{Lax}_0\mathsf{Oplax}_+$-幺半结构的 $\mathsf{Lax}^+_0\mathsf{Oplax}^0_+$-双幺半群范畴。我们引入 $\mathsf{Lax}^+\mathsf{Oplax}^0$-幺半群范畴中的余幺半群、 $\mathsf{Lax}_0\mathsf{Oplax}_+$-幺半群范畴中的幺半群，以及 $\mathsf{Lax}^+_0\mathsf{Oplax}^0_+$-双幺半群范畴中的双幺半群。这些概念的动机来自对Caenepeel与Goyvaerts所构造的推广。该构造给任意对称幺半群范畴 $\mathsf V$ 指派一个 $\mathsf{Lax}^+_0\mathsf{Oplax}^0_+$-双幺半群范畴 $\mathsf D$。 $\mathsf V$ 中的酉 $\mathsf{BiHom}$-幺半群、余酉 $\mathsf{BiHom}$-余幺半群、以及酉且余酉 $\mathsf{BiHom}$-双幺半群分别等同于 $\mathsf D$ 中的幺半群、余幺半群与双幺半群。