代表体积元方法中的偏差：对系综周期化而非对其实现周期化

我们研究代表体积元（Representative Volume Element, RVE）方法，这是一种用于近似推断平稳随机介质有效行为 $a_{\text{hom}}$ 的方法。后者由给定系综 $\langle\cdot\rangle$ 生成的系数场 $a(x)$ 及相应的线性椭圆算子 $-\nabla\cdot a\nabla$ 描述。依据均匀化理论，该方法通过计算 $d = 3$ 个校正子（d 表示空间维数）来进行。为在数值上可行，该计算必须在有限域上完成：即所谓的“代表”体积元，例如具有周期边界条件的大盒子。本文的核心信息是：对系综周期化而非对其实现周期化。我们的意思是，从适当周期化的系综中采样，优于将整体空间系综 $\langle\cdot\rangle$ 的实现 $a(x)$ 的限制做周期延拓。我们通过考察偏差（或系统误差），即 $a_{\text{hom}}$ 与 RVE 方法期望值之差，关于盒子横向尺寸 $L$ 的缩放关系来阐明这一点。在对 $a(x)$ 周期化的情况下，我们启发式地论证该误差通常为 $O(L^{-1})$。在对 $\langle\cdot\rangle$ 做适当周期化的情况下，我们严格证明其为 $O(L^{-d})$。事实上，我们对两种策略的首阶误差项给出了刻画，并论证即便在各向同性情形下该误差通常也是非退化的。我们在具有可积协方差的高斯型系综 $\langle\cdot\rangle$ 这一便利设定下进行了严格分析，此类系综允许直接周期化，并使 Price 定理与 Malliavin 微积分可用于校正子的最优随机估计。