双参数三线性傅里叶乘子与带旗标符号的伪微分算子

本文主要研究当符号具有某种乘积形式时,带旗奇性的双参数三线性傅里叶乘子及其相应伪微分算子的$L^r$ Hölder型估计。更确切地说,对于$f,g,h\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^{2})$,我们所考虑的双参数三线性旗傅里叶乘子算子定义为$$T_{m_1,m_2}(f,g,h)(x):=\int_{\mathbb{R}^{6}}m_1(\xi,\eta,\zeta)m_2(\eta,\zeta)\hat f(\xi) \hat g(\eta)\hat h(\zeta)e^{2\pi i(\xi+\eta+\zeta)\cdot x}d\xi d\eta d\zeta,$$其中$m_1,m_2$为两个双参数符号。我们将证明,我们的问题可归结为建立特殊乘子$m_1(\xi_1, \eta_1, \zeta_1) m_2(\eta_2, \zeta_2)$的$L^r$估计(见定理1.7)。我们还研究如下定义的相应双参数三线性伪微分算子的这些$L^r$估计:$$T_{ab}(f,g,h)(x):=\int_{\mathbb{R}^6}a(x,\xi,\eta,\zeta)b(x,\eta,\zeta)\hat f(\xi)\hat g(\eta)\hat h(\zeta)e^{2\pi i x(\xi+\eta+\zeta)}d\xi d\eta d\zeta,$$其中光滑符号$a,b$满足某些双参数Hörmander条件。我们还将证明,只要当乘子具有特殊形式$m_1(\xi_1, \eta_1, \zeta_1) m_2(\eta_2, \zeta_2)$时旗乘子算子的$L^r$估计成立,则$T_{ab}$的$L^r$估计也成立(见定理1.10)。本文考虑的双参数三线性旗傅里叶乘子不满足Muscalu、Tao、Thiele及第二作者所考虑的经典双参数三线性傅里叶乘子的条件[21, 22]。它们也可视为Muscalu[18]对单参数旗抛物积所得估计的双参数三线性变体。