Fréchet 空间中的 Bernstein 停滞定理

本文在 Fréchet 空间的背景下考察 Bernstein 停滞定理 (BLT)。设 $X$ 为无限维 Fréchet 空间，$\mathcal{V}=\{V_n\}$ 为 $X$ 的嵌套子空间序列，使得对任意 $n \in \mathbb{N}$ 有 $\bar{V_n} \subseteq V_{n+1}$，且 $X=\bar{\bigcup_{n=1}^{\infty}V_n}$。设 $e_n$ 为趋于 0 的正数递减序列。在关于 \sup\{\{dist}(x, V_n)\} 的附加自然条件下，我们证明存在 $x \in X$ 和 $n_o \in \mathbb{N}$，使得对任意 $n \geq n_o$，有 \frac{e_n}{3} \leq \{dist}(x,V_n) \leq 3 e_n 。利用上述定理，我们证明了 Fréchet 空间情形下的 Shapiro \cite{Sha} 定理和 Tyuremskikh \cite{Tyu} 定理。通过考虑快速递减序列，我们将讨论 Fréchet 空间中 BLT 定理的其他版本。我们还给出了一个改进 Konyagin \cite{Kon} 关于 Banach 空间结果的定理。