Beltrami场几乎必然展现纽结与混沌

在本文中我们证明，概率为1时，随机Beltrami场展现出与具有复杂拓扑的不变环面共存的混沌区域。考虑此问题的动机源于对三维定常Euler流的研究，即V.I. Arnold于1965年提出的猜想：典型的Beltrami场所展现的复杂性与具有两个自由度的通用哈密顿系统在一能量超曲面上的限制相同。证明的关键在于获得高斯随机Beltrami场所展现的马蹄、零点及纽结不变环面与周期轨迹数量的渐近界，我们通过将Nazarov–Sodin关于高斯随机单色波的理论作非平凡推广，并应用包括KAM理论、Melnikov分析与双曲性在内的动力系统不同工具而得到这些界。我们的结果在$\mathbf{R}^3$上的Beltrami场与3维环面上的高频Beltrami场两种情形下均成立。