经典等周问题的Bellman偏微分方程与hill性质

本笔记的目标是从两类具体PDE系统地生成等周不等式。我们称这些PDE为Bellman型，因为完全类似的方程恰好支配了调和分析中奇异积分的许多尖锐估计，且此类估计是利用Hamilton--Jacobi--Bellman PDE获得的。我们展示了Brascamp--Lieb、Prekopa--Leindler、Ehrhard的经典不等式是该方案的特例，这使我们能扩充此类不等式的储备。我们将等周不等式视为特殊类型函数的最大值（最小值）原理。这些函数是“Bellman函数”与建立在测试函数上的适当流的组合。于是此类组合的最大值（最小值）原理的存在性可归结为Bellman函数满足一类具体非线性PDE（如下所列）的要求。我们剩下求解此非线性PDE（有时可行）以享用等周不等式。本文将描述的非线性PDE有时可归结为求解拉普拉斯特征值问题、某类$\bar{\partial}$-方程或仅仅是线性热方程。