调和分析中的贝尔曼函数技术。2011年6月昂蒂布INRIA暑期学校讲义

将函数视为随机过程，这虽奇怪但富有成效。任何函数都可以（以多种不同方式）看作一个离散时间的鞅。但拥有连续时间也是有用的。过程可以模拟函数，随机微分方程解的期望收益泛函可以模拟通常熟悉函数上的泛函。其优势在于，现在我们有了“所有”可允许的函数，它们被“枚举”为一个随机微分方程的解，而选择优化给定泛函的最佳函数就变成了选择正确控制过程的问题。但这类问题早已在被称为随机最优控制的数学分支中得到解决。所谓的贝尔曼方程将一个选择最佳控制的无限维问题简化为一个有限维（但通常是非线性的）偏微分方程，即贝尔曼方程。它的解，即给定优化问题的贝尔曼函数，为我们提供了关于最优值和最优解的大量信息。这种方法在经典调和分析中给出了一些有趣的结果，表面上与概率论毫无关系。有时通过这种方法得到的结果至今尚未找到“经典”证明。它特别适用于奇异积分的估计，这可能是因为经典奇异积分背后潜在的随机结构。