具有指数分布服务时间的串联队列的批量延迟分析与相变

我们分析了在批量顾客到达第一个队列之前队列处于平衡状态的设置下，一批 $n$ 名顾客中的最后一名顾客从 $m$ 个队列的串联系统中的第 $m$ 个队列离开的延迟或逗留时间 $L(m,n)$。我们首先假设队列具有无限缓冲区且每个服务器具有顾客独立的、任意已知速率的指数分布服务时间，从而精确刻画了任意 $m$ 和 $n$ 下 $L(m,n)$ 的分布。随后，我们在大 $m$ 和大 $n$ 极限下评估了分布的前两个主导阶项，并清晰地揭示了系统行为中相变的存在。该相变是由于存在缓慢的瓶颈服务器或高的外部到达率而引起的。我们分别确定了发生此相变的服务速率和到达率的临界阈值；结果表明它们是相同的。该临界阈值以我们明确给出的方式依赖于单个服务速率、顾客数量和队列数量，但不依赖于外部到达率。