带放弃的最短队列加入策略：临界负载与重度过载情形

我们考虑一个由固定数量的单服务器队列组成的负载均衡系统，该系统运行在众所周知的“加入最短队列”(Join-the-Shortest Queue) 策略下，且作业/顾客缺乏耐心，如果在某个（随机）时间后未获得服务便会放弃。在此设定下，我们在放弃率趋于零，同时负载要么收敛到 1 要么大于 1 的极限下，刻画了经过中心化和适当缩放的稳态队列长度分布（下文称为极限分布）。根据到达率、服务率和放弃率的不同，我们观察到三种不同的运行情形，它们产生三种不同的极限分布。第一种情形是系统处于欠载状态，且其负载相对缓慢地收敛到 1。在这种情况下，放弃不影响极限分布，我们得到与无放弃系统相同的指数分布。当负载更快地收敛到 1 时，我们得到第二种情形，此时放弃变得显著。这里，系统经历了一个相变，极限分布是一个截断高斯分布。此外，第三种情形是系统处于重度过载状态，因此队列长度非常大。在这种情况下，我们证明极限分布收敛到一个正态分布。为建立我们的结果，我们首先通过给出（未缩放）队列长度垂直分量二阶矩的一致界，证明了一种较弱形式的状态空间坍缩 (State Space Collapse)，这表明系统的行为类似于一个单服务器队列。然后，我们使用指数李雅普诺夫函数来刻画稳态队列长度向量的极限分布。