重负载下随机负载均衡的不变性原理与 McKean-Vlasov 极限

我们考虑一个负载均衡模型，其中泊松流的作业到达一个由许多服务器组成的系统，这些服务器的服务时间分布具有有限的二阶矩。一小部分到达作业通过所谓的 power-of-choice 算法，该算法将作业分配给随机选择的 $\ell$（$\ell\ge 2$）个队列中最短的一个，其余作业被均匀随机地分配到所选队列。系统在临界负载下进行分析，处于一个渐近状态下，其中服务器数量和与单个队列长度相关的通常重负载参数均趋于无穷大。第一个主要结果是流体力学极限，其中扩散归一化队列长度的经验测度被证明收敛于测度空间中的一条路径，其密度由具有非局部系数的抛物型偏微分方程的唯一解给出。此外，证明了两种形式的不变性原理，对应于初始分布的两种不同假设，其中单个归一化队列长度弱收敛于 SDE 的解。在其中一项结果中，极限由 McKean-Vlasov SDE 给出，并且混沌传播成立。McKean-Vlasov 极限与 $\mathbb{R}_+$ 上通过其排名（具有特定相互作用）进行相互作用的 Brown 粒子的极限结果密切相关。然而，由于 $n$ 个预极限粒子的集合在 $\mathbb{R}_+^n$ 上不服从 Markov 演化，因此需要一套完全不同的工具。