$A/I^n$ 的 Bass 数与 Betti 数

设 $(A, \m, k)$ 为维数 $d\geq 1$ 的 Gorenstein 局部环。设 $I$ 为 $A$ 的理想且 $\htt(I) \geq d-1$。我们证明数值函数 $$n \mapsto \ell(\ext_A^i(k, A/I^{n+1}))$$ 在 $i \geq d+1$ 且对所有 $n \geq 1$ 有 $\curv(I^n) > 1$ 的情形下由次数为 $d-1$ 的多项式给出。在 $A$ 为 \CM ~ 局部环的假设下，我们对数值函数 $$n \mapsto \ell(\Tor_i^A(k, A/I^{n+1}))$$ 证明了类似结果。\noindent 我们注意到存在许多满足对所有 $n \geq 1$ 有 $\curv(I^n) > 1$ 的理想例子。我们还考虑更一般的函数 $n \mapsto \ell(\Tor_i^A(M, A/I_n)$，其中 $\{I_n \}$ 为 $A$ 中理想的 filtration。在 $M$ 为极大 \CM ~ $A$-模且 $\{I_n=\overline{I^n} \}$ 为积分闭包 filtration、$I$ 为 $A$ 中 $\m$-准素理想的情形下，我们证明了类似结果。