First Coefficient ideals and $R_1$ property of Rees algebras

设 $(A,\mathfrak{m})$ 为维数 $d \geq 2$ 且剩余域为无限域的正规局部环。设 $I$ 为 $\mathfrak{m}$-初理想。则以下断言等价: (i) 扩展理想代数 $A[It, t^{-1}]$ 为 $R_1$; (ii) 理想代数 $A[It]$ 为 $R_1$; (iii) $Proj(A[It])$ 为 $R_1$; (iv) $(I^n)^* = (I^n)_1$ 对所有 $n \geq 1$ 成立。此处 $(I^n)^*$ 为 $I^n$ 的积分闭包，$(I^n)_1$ 为 $I^n$ 的第一系数理想。