无界集上的平衡博弈

对于有限集 $V\subset \mathbb{R}^n$，若 $t \in T$ 且 $v\in V$ 蕴含 $t+v\in T$ 或 $t-v \in T$，则称集合 $T\subset \mathbb{R}^n$ 为 $V$-闭的。集合 $P(V):=\{\sum_{v \in W} v: W \subset V\}$ 显然是 $V$-闭的，其平移也是。我们证明，假设 $V$ 不含平行向量，若 $T$ 是闭的且 $V$-闭的，且 $x \in T$ 是 $\operatorname{cl} \operatorname{conv} T$ 的极点，则存在一个 $P(V)$ 的平移包含 $x$ 且包含于 $\operatorname{conv} T$。该结果用于确定一个特殊平衡博弈的值。一个推论是：当 $m\ge 2$ 且 $m$ 不是2的幂时，一个 $2m$-集的 $m$-子集可以染成红色和蓝色，使得互补的 $m$-子集颜色不同，且该 $2m$-集中的每个点包含的红色子集和蓝色子集数量相同。