具有 $2k+2$ 个顶点的非 $k$-可选 $k$-色图的坏列表分配

Ohba 猜想且由 Noel、Reed 和 Wu 证明：满足 $|V(G)| \le 2k+1$ 的 $k$-色图 $G$ 是色可选的。该 $|V(G)|$ 上界是紧的：若 $k$ 为偶数，则 $K_{3 \star (k/2+1), 1 \star (k/2-1)}$ 与 $K_{4, 2 \star (k-1)}$ 是具有 $2 k+2$ 个顶点且非色可选的 $k$-色图。[arXiv:2201.02060] 中证明了这些是仅有的具有 $2k+2$ 个顶点的非 $k$-可选完全 $k$-部图。对于 $G =K_{3 \star (k/2+1), 1 \star (k/2-1)}$ 或 $K_{4, 2 \star (k-1)}$，$G$ 的一个坏列表分配是指 $G$ 的 $k$-列表分配 $L$ 使得 $G$ 不是 $L$-可着色的。$G=K_{4, 2 \star (k-1)}$ 的坏列表分配已在 [Discrete Mathematics 244 (2002), 55-66] 中被刻画。本文首先给出该结果的一个更简证明，随后刻画了 $G=K_{3 \star (k/2+1), 1 \star (k/2-1)}$ 的坏列表分配。利用这些结果，我们刻画了所有具有 $2k+2$ 个顶点的非 $k$-可选（非完全）$k$-部图。