Backtracking New Q-Newton 方法寻找单复变函数根的全局收敛性及局部稳定/不稳定曲线
摘要
本文深入研究了 Backtracking New Q-Newton's 方法（由第三作者最近设计）用于寻找单复变函数根的性质。若 ，其中 和 是单复变变量 中的多项式，且 ，我们证明存在一个异常集合 ，其包含在 中可数实解析曲线的并集中。随后，以下陈述 A 和 B 成立。这里， 是由 BNQN 构造的序列，初始点 不是 的极点。A) 若 ，则 收敛到 的一个根。B) 若 ，则 收敛到 的一个临界点——但不是根——的位置。在实验中似乎表明，对于一般情况，即使 为多项式，集合 也不包含在有限个实解析曲线的并集中。我们进一步给出与 在局部是否包含在有限个实解析曲线中有关的更多结果。类似结果也适用于一般的单值函数。此外，与前期工作不同，本文不要求 BNQN 的参数为随机，或该单值函数 为通用情况。在理论结果基础上，我们（既严格又启发式地）解释了 BNQN 实验中观察到的现象，以及作者们在前期工作中观察到的现象。特别是，BNQN（一种迭代方法）的动力学似乎在某种程度上与牛顿方法（一种连续方法）以及单复变平面上可微实动力系统的经典庞亨-本特利恩定理具有显著的相似性。这一现象尤其有趣，因为诸如松弛牛顿法等离散版牛顿方法并不表现出这种行为。
引用
@article{arxiv.2412.02476,
title = {Backtracking New Q-Newton's method for finding roots of meromorphic functions in 1 complex variable: Global convergence, and local stable/unstable curves},
author = {John Erik Fornæss and Mi Hu and Tuyen Trung Truong},
journal= {arXiv preprint arXiv:2412.02476},
year = {2025}
}
备注
57 pages. Main changes: 1) Replace the connection with Fatou-Leau flowers by a more appropriate connection with Newton's flow and Poincare-Bendixon theorem for 2-dim flows. 2) Add an experiment on using Random Relaxed Newton's method to find roots of e^{2iz}-1. Comments are welcome