矩阵多项式根函数的新方法及其在微分方程和满单值矩阵函数中的应用

本文第一部分 addressed 一个可逆矩阵多项式 $L(z)$ 及其逆矩阵 $\hat{L}(z) := -L(z)^{-1}$。我们提出了一种通过仅对矩阵 $L(z)$ 进行初等变换来获取其根函数和Jordan链的规范集合的方法。该方法为从 $L(z)$ 中仅进行初等变换即可推导出系统常微分方程 $L\left(\frac{d}{dt}\right)u=0$ 的通解提供了一种新颖且简洁的方法。在本文第二部分，给定矩阵广义Nevanlinna函数 $Q\in N_{\kappa }^{n \times n}$ 和 $\hat{Q}(z) := -Q(z)^{-1}$ 的规范根函数集合，我们提供了一个算法，用于确定特定的庞特尼普空间 $(\mathcal{K}, [.,.])$，特定的自伴算子 $A:\mathcal{K}\rightarrow \mathcal{K}$ 以及算子 $\Gamma: \mathbb{C}^{n}\rightarrow \mathcal{K}$，以表示函数 $Q$ 的Krein-Langer类型表示。我们通过线性常微分方程组的例子演示了主要结果。