$2\times 2$ 双曲型偏微分方程的 Backstepping 神经算子

非线性算子的深度神经网络逼近（通常称为 DeepONet）已被证明能够逼近 PDE backstepping 设计，其中单个 Goursat 形式 PDE 控制单个反馈增益函数。在耦合 PDE 的边界控制中，耦合的 Goursat 形式 PDE 控制两个或多个增益核——这是一种迄今为止尚未用 DeepONet 处理的 PDE 结构。在本文中，我们通过考虑一个简单的反向对流 $2\times 2$ 耦合系统来探讨逼近双曲 PDE 被控对象的增益核 PDE 系统的主题，在其控制中出现了 Goursat 形式的 $2\times 2$ 核 PDE 系统。工程应用包括石油钻井、浅水波的 Saint-Venant 模型以及拥堵交通流中走走停停不稳定性的 Aw-Rascle-Zhang 模型。我们建立了从总共五个被控对象 PDE 泛函系数到核 PDE 解的映射连续性，证明了对核 PDE 存在任意接近的 DeepONet 逼近，并确保在替换精确的 backstepping 增益核时，DeepONet 逼近的增益能保证稳定性。考虑到反配置边界执行与传感，我们基于 $L^2$ 全局指数稳定 (GES) 的近似增益核输出反馈设计意味着对控制器增益和观测器增益的深度学习。此外，将输出反馈律编码到 DeepONet 中可确保半全局实际指数稳定性 (SG-PES)。DeepONet 算子将控制器增益的计算速度提高了多个数量级。其理论上证明的稳定能力通过仿真得到了验证。