用于 PDE 反步法的纯增益神经算子

在本工作中，我们推进了最近引入的基于深度学习的 PDE 反步控制方法，提出了一种仅近似控制增益函数——一个一元函数——而不是反步变换中依赖两个变量的整个核函数的方法。这一思想使用包括双曲型和抛物型在内的几个基准不稳定 PDE 引入，并扩展到 2X2 双曲系统。通过采用利用精确核（适用于增益调度）而非近似核（适用于自适应控制）的反步变换，我们改变了近似误差的量化方式。这导致目标系统显著简化，将近似引起的扰动从定义域转移到边界条件。尽管 Lyapunov 分析存在显著差异，我们仍能在这种简化近似方法下保持稳定性保证。仅近似控制增益函数简化了被近似的算子及其神经近似的训练，从而有可能减小神经网络规模。这些简化的代价是更复杂的 Lyapunov 分析（对某些 PDE 涉及更高阶的 Sobolev 空间），以及由这些空间产生的对初始条件的某些限制。仔细考虑每个问题的具体要求和约束以确定最合适的方法至关重要；事实上，最近的工作已经证明了全核方法和纯增益方法在自适应控制和增益调度场景中的成功应用。