B(H) 格、稠密性与算术平均理想

作为一个多论文项目的一部分，本文研究了由 Dykema、Figiel、Weiss 和 Wodzicki 引入的 B(H) 算术平均理想的格性质。我们证明：所有主理想的格、算术平均稳定或无穷远算术平均稳定的主理想的格、以及生成元满足 Delta_1/2 条件的主理想的格，均在一般理想的格中既是上稠密又是下稠密的。也就是说，在这些子格的任一理想与嵌套在其上方（或下方）的另一理想之间，存在该子格中的另一个理想。应用包括：一个主理想 I 是 am-稳定的（I = I_a），当且仅当其任意一阶算术平均理想是 am-稳定的，当且仅当该理想满足一阶等式消去律：J_a = I_a 蕴含 J = I。我们表明，即使对于 am-稳定的可数生成理想，这种消去律也可能失效。类似结果对无穷远算术平均理想也成立。包含关系的消去律即使在主理想中通常也不成立，但对于每个理想 I，存在一个最大理想 I^，使得 J_a 包含 I_a 蕴含 J 包含 I^。当 I 为主理想时，I^ 也是主理想。我们证明 I=I^ 是一个比 am-稳定性更严格的性质。例如，对于由 diag {1/n} 生成的主理想 J 的 p < 1 次幂 I，I^ 是 J 的 q 次幂，其中 1/p-1/q = 1。