扩散率趋于零的半经典极限下二维平流 - 扩散方程的平均化与谱性质

我们考虑有界域上的二维平流 - 扩散方程，其服从 Dirichlet 或 von Neumann 边界条件，并研究了涉及 Liouville 可积哈密顿量的时间无关和时间周期情形，这些哈密顿量满足应用平均化原理的条件。变换为作用量 - 角度坐标允许在时间和角度上进行平均化，从而导出一个底层的特征值方程，该方程允许分离角度和作用量坐标。结果是一个涉及反对称虚势的一维二阶方程。对于圆盘或圆环上的径向流，我们严格应用现有的复平面 WKBJ 方法来研究扩散率趋于零的半经典极限下的谱性质。在此极限下，谱被发现是一个复杂的集合，由与 Stokes 图相关的线组成。这些图邻域内的特征值相对于扩散率表现出非线性缩放，导致对于角度坐标中均值为零的初始数据出现对流增强的耗散（弛豫、混合）速率。这些分支与随扩散率线性缩放且包含主特征值（无耗散增强）的扩散分支共存。